Razões Trigonométricas para Ângulos Notáveis


Para muitos, a trigonometria é considerada como o campo de estudo mais divertido dentre todos os da matemática. Talvez porque as figuras nos dão uma noção prática de como trabalhar com as fórmulas. Ou talvez porque há uma aplicabilidade mais perceptiva do estudo de trigonometria aplicado à realidade (tamanhos de terrenos, menor distância, etc.). O motivo realmente não importa: o que importa é que ela é sim muito útil para nossas vidas.

Adentrando um pouco mais a fundo no mundo da trigonometria, vamos abordar hoje as razões trigonométricas para ângulos notáveis. Sabe o que é razão trigonométrica? E quanto a ângulos notáveis? Faz alguma ideia? Não? Sem problemas. Aqui essas e outras dúvidas em relação ao assunto serão sanadas, e você se tornará quase um especialista em razões trigonométricas para ângulos notáveis. Vamos ao que interessa então.

 Razões Trigonométricas

Introdução

Quando abordamos o assunto de que estamos falando aqui, isto é, razão trigonométrica e ângulos notáveis, a primeira coisa que devemos ter em mente é que estamos tratando de triângulos. Nem quadrados, nem círculos, nem paralelepípedos, mas triângulos. Isso é de extrema importância, principalmente em relação aos ângulos, mas abordaremos este fato mais adiante.

Pois bem, quando falamos de razão, qual a primeira coisa que nos vem à mente? Acertou quem disse relação, pois a razão é sempre uma coisa determinada comparada a outra coisa, também determinada. Então podemos dizer que razão trigonométrica é a razão entre os lados de um triângulo. Mas é preciso lembrar que estamos tratando de razões trigonométricas para ângulos, então de nada adianta considerar apenas as medidas de cada lado do triângulo sem considerar os ângulos que tais lados implicam, sendo que para cada lado há um ângulo. Assim, três lados é igual a três ângulos.

Desta maneira, a lição número 1 que deve ser aprendida é: não importa o tamanho e nem a inclinação dos lados de determinado triângulo: todo e qualquer triângulo tem como resultado da soma de seus ângulos internos o valor de 180°. Assim, um triângulo quando equilátero (três lados com a mesma medida) terá todos os seus ângulos com o valor de 60°. Já triângulos retos possuem um ângulo de 90° e outros dois ângulos com valores variáveis, e assim por diante. Mas, afinal, de contas, o que são ângulos notáveis? São aqueles ângulos que têm maior ocorrência em figuras geométricas triangulares, ou seja, são ângulos prototípicos (exemplares máximo) quando falamos em cálculos trigonométricos. São três os ângulos prototípicos: os de 30°, 45° e 60°.
Agora que já sabemos os princípios básicos que se escondem atrás desta complicada expressão, “razões trigonométricas para ângulos notáveis”, podemos prosseguir e explorar o assunto mais a fundo.

Seno, cosseno e tangente

Agora que já sabemos sobre o que estamos falando, surge a questão: mas para que serve tudo isso? Serve para calcularmos algo que é familiar a muitas pessoas: o seno, o cosseno e a tangente, pois são elas as razões trigonométricas. Lembramos que essas razões trigonométricas também podem ser calculadas em outras figuras passíveis de serem divididas em triângulos, como o quadrado, quando cortado transversalmente, o pentágono, dentre outros.

As fórmulas utilizadas para calcular as três razões explicitadas acima são as mesmas para todos os ângulos, notáveis ou não, não importante se trata-se de ângulos de 30°, 45° ou 60°. Para tornar a explicação mais didática, vamos imaginar que estamos trabalhando com um triângulo reto – ou seja, possui um ângulo de 90° – chamado ABC, cujos lados são AB (cateto adjacente à hipotenusa), BC (hipotenusa) e CA (cateto oposto à hipotenusa). Queremos calcular as razões trigonométricas – seno, cosseno e tangente – do ângulo X, situado no vértice B (sendo que no vértice A se encontra o ângulo reto, de 90°). Como fazemos isso? Estabelecendo comparações de acordo com os seguintes princípios:

Seno de X: para calcularmos o seno, devemos fazer a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo X (CA) e o comprimento da hipotenusa (BC). Desta maneira, seno X = CA/BC;

Cosseno de X: esta é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo X e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Portanto, cosseno X = AB/BC;

Tangente de X: a esta altura não é difícil deduzir que a tangente é a razão entre os catetos, sendo que o cateto oposto a mesma vem antes do cateto adjacente ao ângulo X. Logo, tangente X = CA/AB.

É importante observar que, em caso de triângulos semelhantes, isto é, que têm o ângulo X com o mesmo valor, as razões trigonométricas dependem exclusivamente do ângulo, e não do triângulo em questão, como se poderia pensar. É justamente por este motivo que há tabelas com os valores fixos das razões trigonométricas dos ângulos notáveis. Mas é sempre bom lembrar que é muito provável que sejam usados ângulos com valores diferentes do dos ângulos notáveis. Por isso, mais que decorar, é necessário realmente aprender o conteúdo e entender daquilo que se está falando.