Resumo sobre Progressão

Progressão Aritmética

Intitula-se progressão aritmética (PA) o seguimento onde cada item, a começar do segundo, é adquirido acrescentando uma constante r ao item anterior. Essa constante r foi denominada razão da progressão aritmética.

Ex:

O seguimento (2, 7, 12, 17) é uma PA finita de razão igual a cinco, uma vez que:

a1 = 2

a2 = 2 + 5 = 7

a3 = 7 + 5 =12

a4 = 12 + 5 = 17

As progressões aritméticas podem ser qualificadas conforme o resultado da razão r.

– Se r > 0, logo a progressão aritmética é crescente.

– Se r < 0, logo a progressão aritmética é decrescente.

– Se r = 0, logo a progressão aritmética é constante.

Termo geral

De acordo com a explicação, pode-se retratar os dados da PA (a1, a2, a3, …, an) da seguinte maneira:

a1 = a1

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

O elemento an comum de uma progressão aritmética é apresentado, assim, pela expressão:

an= a1 + (n – 1)r

Propriedades da PA

Em certa progressão aritmética, com n elementos e razão r, pode-se perceber as seguintes características:

1)Todo elemento de uma PA, começando pelo segundo, é a média aritmética entre o elemento anterior e o posterior.

ak = ak-1 + ak+1, (k=2)

Ex:

PA (2, 5, 8, 11), temos:

a5 = a4 + a6

2

2)A soma de dois elementos paralelos das extremidades é similar a soma das extremidades.

a1, a2, a3, a4, …, an-3, an-2, an-1, an

a2 + an-1= a3 + an-2 = a4 + an-3 = … = a1+ an

Ex:

PA (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23), temos:

3 + 21 = 1 + 23 = 24

5 + 19 = 1 + 23 = 24

7 + 17 = 1 + 23 = 24

9 + 15 = 1 + 23 = 24

11 + 13 = 1 + 23 = 24

Se acontecer de uma progressão aritmética ter números de modo ímpar, haverá um elemento central que será a média aritmética das extremidades desta progressão.

Ex:

PA(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19) com 7 elementos e elemento central igual a 10, temos:

a4 = a1 + a7 = 1 + 19 =10

2 2

Soma da PA

A soma de uma progressão aritmética finita se da pela fórmula:

Sn= (a1 + an)n

Progressão Geométrica

As progressões geométricas (PG) são compostas por um seguimento numérico, em que os números são determinados, com exceção do primeiro, pela constante q, denominada de razão.

O número posterior da progressão geométrica é o número real multiplicado pela razão.

Ex:

PA (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, …), apresenta uma razão igual a 2, uma vez que:

a1 = 1

a2 = 1 . 2 = 2

a3 = 2 . 2 =4

a4 = 4 . 2 = 8 …

a10 = 256 . 2 = 512

A razão pode ser representada por todo número racional, sejam eles positivos, negativos e frações, com exceção do zero. Para desvendar qual a razão de uma progressão geométrica, só precisa eleger qualquer número do seguimento, e dividi-lo pelo número que o antecede.

Expressão do termo geral

A seguinte expressão pode ser usada para desvendar qualquer valor de um seguimento em PG:

an = a1. q(n-1)

Onde,

a = elemento

a1 = primeiro elemento

n = elemento que quer descobrir

Ex:

q = 2

a1 = 5

para descobrir o elemento a12, realiza o seguinte cálculo:

a12 = 5 . 2(12-1)

a12 = 5 . 211

a12 = 5 . 2048

a12 = 10240

As progressões geométricas podem ser separadas em quatro modelos, conforme o valor da sua razão.

Oscilante

Nesse modelo de PG, a razão é um número negativo, o que estabelecerá que o seguimento numérico seja formado pode números negativos e positivos, se alternando.

Ex:

PG (3, -6, 12, -24, 48, -96, 192, -384, 768, …), com razão igual a -2.

Crescente

Uma progressão geométrica é avaliada como crescente quando apresenta q > 1 e a1 > 0, ou quando 0 < q < 1 e a1< 0. Ex: PG (1, 3, 9, 27, 81, …), com razão igual a 3 e a1> 0.

PG (-4, -2, -1, -0,5, -0,25, -0,125, …), com razão igual a 0,5 e a1 < 0.

Constante

Nesse modelo de PG, o seguimento numérico sempre apresenta os mesmos números. Para que isso acontece, a razão deve ser sempre igual a 1.

Ex:

PG (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …), com razão igual a 1.

Decrescente

Uma progressão geométrica é classificada como decrescente quando apresenta q > 1 e a1 < 0, ou quando 0 < q < 1 e a1> 0. Desse modo, os números do seguimento sempre serão menores do que o número que o antecede.

Ex:

PG (-4, -8, -16, -32, …), com razão igual a 2.