Simplificando Raízes Exatas Utilizando a Fatoração

Dentre os estudos da matemática básica, há um campo de estudos que integram os expoentes, radicais e notação científica. Neste texto, vamos focalizar somente os radicais, mais especificamente sua raiz quadrada. Mas, antes de partirmos para o assunto que realmente nos interessa, é necessário perguntar: o que é um radical?

O radical é representado pelo símbolo √¯, que contém um número qualquer chamado de radicando. Aqueles que entendem minimamente de matemática, sabem que existem radicandos negativos, mas, quando há somente o símbolo acima, devemos concluir que o radicando em questão é positivo. Dessa maneira, o radicando 100, notado por √¯100, é um radicando positivo. Se o radicando estivesse escrita da seguinte maneira √¯(-100), estaríamos trabalhando com um radicando negativo.

No entanto, não é usual trabalhar com valores notados por radicando. E é aqui que entra a raiz quadrada, pois ela, sim, é muito trabalhada.

Entendendo o conceito de raiz quadrada

Continuando no mesmo exemplo que utilizamos acima, √¯100, vamos pensar em sua raiz quadrada. A raiz quadrada nada mais é que um número que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta no valor do radicando. Então, qual número que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta em 100? Bom, essa é fácil! O resultado é 10, já que 10 x 10 é igual a 100. Bom, notem que 10 x 10 é igual a 10², afinal todo número que multiplicado por ele mesmo uma vez é sinônimo de elevá-lo ao quadrado (assim como todo número multiplicado por ele mesmo três vezes, como em 10 x 10 x 10 é o mesmo que elevá-lo ao cubo, isto é, o mesmo que 10³, e assim por diante). Então, é por este motivo que chamamos o conceito de raiz quadrada, porque sempre será um número elevado a segunda potência.

Muito fácil, não é? No entanto, como nem tudo na vida é simples, existem radicandos cuja raiz quadrada não é perfeita, ou seja, o resultado é quebrado e tem que ser aproximado. Pensemos em na raiz quadrada de √¯45. Que número multiplicado por ele mesmo resulta em 45? Não existe um resultado exato, pois a raiz quadrada deste número seria APROXIMADAMENTE 22,5. Para simplificarmos o entendimento do conceito, trabalharemos somente com radicando que apresentam raízes exatas, ou seja, raízes que são números inteiros.

Neste ponto, você deve estar pensando “então é fácil, já que para eu achar a raiz quadrada de determinado radicando basta que eu divide o número contido pelo radical por 2 e depois acrescente o sinal de quadrado neste resultado. Trabalhar com raízes exatas facilita ainda mais essa tarefa que já é simples”. Bem, como já dissemos, nem tudo é tão simples…

Via de regra, a matemática não aceita a raiz escrita na forma de apenas um número ao quadrado porque a “regra” descrita no parágrafo anterior não é válida para todos os casos. Pensem em um número aleatório e extremamente grande, como 10.894. A raiz quadrada deste número seria igualmente grande e, por isso, difícil de ser trabalhada, especialmente se tratar de exercícios muito complexos. Para evitar este tipo de situação, é utilizando a fatoração da raiz quadrada. Não se desespere pois, apesar de ser um pouco mais trabalhosa do que apenas dividir o número do radical por 2, a fatoração também é uma tarefa relativamente simples. Vamos entender melhor o que ela é abaixo.

Fatorando raízes exatas

Você conhece os números primos, certo? São eles os responsáveis pela fatoração. A ideia é simples: para executarmos a simplificação da raiz quadrada, basta dividirmos o radicando pelo menor número primo possível quantas vezes for necessário, até que o resultado da divisão seja 1.

Para que fique mais claro, vamos simplificar a raiz quadrada de 100. Qual o menor número primo possível de dividir 100? A resposta é 2, logo 100/2 = 50 e 50/2 = 25. 25 não é divisível por 2 e nem por 3, menor número primo subsequente ao 2, mas é divisível por 5, então 25/5 = 5 e 5/5 = 1. Chegamos então ao valor de 1, produto que buscávamos. Agora surge outra questão: como escrevemos essa raiz quadrada simplificada?

Vamos pensar em quantas vezes cada um dos divisores aparece. Assim, tanto o 2 quanto o 5 aparece duas vezes, logo √¯100 = √¯2.2.5.5. Como 2 vezes ele mesmo é 2² e 5 vezes ele mesmo é 5², podemos escrevê-los dessa maneira: √¯100 = √¯2².5². Multiplicando os radicandos do segundo termo, teremos que √¯100 = 10. Você deve estar se perguntando porque tivemos todo esse trabalho se já havíamos descoberto este resultado de maneira muito mais fácil acima.

Bem, observe este caso: √¯900. 900/2 = 450/2 = 225/3 = 75/3 = 25/5 = 5/5 = 1. Logo, √¯100 = √¯2².3².5². Portanto, √¯900 = 30. Por este exemplo é possível perceber como a fatoração é necessária para garantir a precisão dos resultados.
Agora é sua vez. Tente fatorar raízes exatas. Se tiver qualquer dificuldade, nosso conteúdo sempre está disponível para te ajudar.