Soma dos Termos de uma PG Infinita

Nesse artigo você irá aprender como fazer a soma dos termos de uma PG (progressão geométrica) infinita. Mas primeiramente conhecerá o que é a progressão geométrica, para compreender melhor como se dá a soma.

Progressão Geométrica

A progressão geométrica consiste na soma numérica crescente ou decrescente pelo produto, por uma taxa fixa. Os termos a partir do segundo são iguais ao produto do termo anterior por meio da razão: (1,2,4,8,16…). Ou seja, é a sucessão de números reais conseguida, menos o primeiro, multiplicando o número anterior pela quantia fixa q.
Ou seja:
x1 = x1
x2 = x1. q
x3 = x1. q²
…
x20 = x1. 120
x1 = x1. q n-1

A progressão geométrica é semelhante à aritmética olhado rapidamente. Mas vamos detalhar melhor para compreender as diferenças: enquanto a PA forma-se somando uma mesma quantidade repetidamente, na PG os termos são sempre gerados pela multiplicação repetida de um mesmo número; na PA a razão é positiva, ou seja, sempre maior do que zero. Desse modo se torna sempre crescente. Já a PG pode ser decrescente, com razão negativa.

Soma dos termos de uma PG

No processo com um número finito de termos, o cálculo é feito facilmente pela soma deles, da mesma forma que ocorre na PA (progressão geométrica).

Os itens são os seguintes:

• Sn = soma dos termos
• x1 = termo inicial da PG
• 1 = razão (diferente de um)
• n = número de termos da PG

Somar os termos da PG funciona da seguinte forma:
Sn = x1 + x2 + x3 + … +xn
OU
Sn = x1 + x1. q + x1. q²+ … +x1. q n-1.

Dessa forma, para calcular a soma, precisamos fazer uma expressão, por isso multiplica-se por 1 todos os dois membros da igualdade.

q.Sn = q. (x1 + x1.q + x1. q² + … + x1. 1 n-1.)
q.Sn = x1. q + x1. q² + x1. q³ … + x1. q n

Em seguida basta subtrair a primeira igualdade da segunda igualdade:
q. Sn – Sn = x1.q + x1.q² + x1.q³ … x1.qn – (x1 + x1.q + x1.q² + … + x1.q n-1)
Sn (q-1) = x1 + x1. qn
Sn = x1 (qn – 1) : q.1

Essa é a fórmula da progressão geométrica finita. Em PGs com razão igual a 1 como em (2,2,2,2) a fórmula não se aplica, pois o denominador é 0.

Para resolver casos como esse, a seguinte fórmula é útil:
Sn = n.x1

PGs infinitas

Nas progressões geométricas infinitas como em, por exemplo, (2, 6, 18, 54), não há como calcular a soma dos termos, pois eles não têm fim e crescerão infinitamente. Mas em PGs decrescentes, com razão 0 < q <1, a soma é possível. Se a pessoa possui um tablete de chocolate e está de dieta, portanto quer comer sempre a metade do pedaço que tiver. Primeiro ela comerá metade do tablete, depois metade da metade do que havia sobrado. Em seguida a metade do pedaço da vez anterior. Isso é uma PG infinita decrescente: (½, ¼, 1/8, 1/16,...). A soma de tudo será sempre o tablete inteiro, ou seja, 1.

Produto dos termos na progressão geométrica

Existem duas maneiras de fazer o cálculo do produto dos termos na progressão geométrica. A mais utilizada é essa a seguir:

Pn = x1n . q n(n-1) : 2
Pn corresponde ao produto dos termos.

Não podemos deixar de destacar que existem dois tipos de produtos:

• Produto positivo: ocorre quando a progressão geométrica calculada não ter termos negativos, ou quando a quantidade de termos negativos for par.
• Produto negativo: quando a quantidade de termos negativos for ímpar.

Existem quatro tipos de progressões geométricas:

• Oscilantes: esse tipo tem razão negativa, então a sequência numérica variará em números negativos e positivos intercalados: (3, -6, 12, -24, -96…). Nesse caso a razão vale -2.
• Crescente: a pg crescente tem q > 1 e x1 > a ou ainda 0< q < 1 e x1 < 0. Um exemplo seria: (1, 3, 9, 27...) a razão nesse caos é 3 e o x1 é maior que 0.
• Constante: aqui a sequência de números tem sempre os mesmos valores. Logo a razão será, invariavelmente, 1: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3…) com razão 1.
• Decrescente: é decrescente quando 1 > 1 e x1 < 0 ou quando 0 < q < 1 e x1 > 0. Dessa forma os números da sequência são menores que o valor anterior: (-4, -8, -16, -32 …) com razão de valor 2.

A progressão geométrica requer um pouco mais de atenção que a aritmética, mas não deixa de ser um processo simples. Basta compreender as fórmulas e realizar exercícios. É importante diferenciar bem os dois tipos de progressão para não se confundir ou misturar as fórmulas na hora de resolver. Leia o enunciado com atenção e verifique se caso se trata de uma PA ou PG. Experimente resolver questões de PG que caem nos vestibulares mais concorridos.