Volume da Pirâmide

A pirâmide é uma forma geométrica bastante conhecida desde a Antiguidade. O nome pirâmide, inclusive, deriva do grego “pyra”, que quer dizer fogo, luz ou ainda energia, e “midos”, que significa medidas. Portanto, a pirâmide seria a medida do fogo, ou a medida da luz.

Sua forma espacial, que compreende mais de duas dimensões, está presente em diversas construções e objetos decorativos desde tempos remotos. As famosas pirâmides egípcias são um exemplo, sendo a Pirâmide de Quéops a mais famosa, ou também as pirâmides mesoamericanas, como a Pirâmide do Sol em Teotihuacan, no México – ambas de base quadrangular.

As pirâmides podem ter diferentes polígonos em sua base, mas as faces laterais sempre terão um formato triangular. A sua principal característica é ser um conjunto de segmentos de reta que se encontram em um vértice superior em V, e que na extremidade oposta tocam um polígono de base.

Como uma pirâmide pode ser classificada?

A classificação das pirâmides é feita de acordo com o formato da sua base. Apesar do tipo mais famoso ser a pirâmide quadrangular, na verdade qualquer polígono pode compor a base de uma pirâmide, como um triângulo, um pentágono, um hexágono, e assim por diante.

Se a base for um triângulo, ela será uma pirâmide triangular ou um tetraedro, composta por quatro faces (3 laterais e 1 na base). Já se for um quadrado, será uma pirâmide quadrangular, com cinco faces (4 laterais e 1 na base), e se for um pentágono, será uma pirâmide pentagonal, formada por seis faces (5 laterais e 1 na base).

Outros elementos que compõem uma pirâmide, além da base e da face, são: a aresta lateral, que é o segmento de reta que conecta o vértice em V a um vértice da base; a aresta da base, que forma uma lateral do polígono da base; e a apótema, que é a altura de cada face lateral.

Há ainda a altura, que é muito importante para o cálculo do volume da pirâmide. É necessário prestar bastante atenção nisso, pois este polígono tem na verdade três tipos distintos de altura, sendo apenas uma a utilizada para calcular o volume. A altura que nos interessa é a chamada altura verdadeira, que é a medida desde o centro do vértice em V até o centro do polígono de base. Mas, a título de conhecimento, existe também a altura de inclinação, que vai do vértice até o centro das laterais do polígono de base, e a altura de borda.

As pirâmides também podem ser classificadas em retas ou oblíquas. As retas são aquelas onde o vértice superior em V está alinhado ao centro da base da pirâmide, e a medida das arestas laterais é igual. Já na oblíqua, o vértice superior não está alinhado ao centro do polígono da base e, consequentemente, as medidas das arestas laterais são irregulares ou distintas entre si.

Calculando o volume da pirâmide

O volume da pirâmide é o cálculo de todo o espaço que ela ocupa, e é representado em metros cúbicos (m³). Para chegar ao valor final, é preciso em primeiro lugar identificar a área total da base da pirâmide, em seguida multiplicar este valor pela altura e por fim dividir tudo por 1/3. A equação matemática que representa este cálculo é a seguinte:

V= (Ab x h) / 3

Sendo:

V= volume
Ab= área da base
h= altura

Como uma pirâmide pode ter diversos polígonos como base, para saber calcular o volume de uma pirâmide é também essencial conhecer bem a geometria plana, especialmente as fórmulas de cálculo de área dos polígonos. Vamos usar como exemplo a famosa Pirâmide de Gizé, que é uma das Sete Maravilhas do Mundo e cartão postal mais famoso do Egito.

A Grande Pirâmide de Gizé é uma pirâmide de base quadrangular. Sua aresta lateral tem 230 metros em todos os lados e sua altura é de 146 metros. O primeiro passo para calcular o volume é identificar a área da base, que neste caso é 230m x 230m = 52.900m². Em seguida, multiplicamos a área de base (52.900m²) pela altura (146m) e dividimos por 3. Portanto, temos 52.900m² x 146 = 7.723.400m³; e 7.723.400m³ / 3= 2.574.466,66 m³. Concluímos que o volume da pirâmide é, portanto, 2.574.466,66 m³.

Outro exemplo é o caso do tetraedro. Como vimos, o primeiro passo é encontrar a área do triângulo da base, que neste caso é dada pela multiplicação do comprimento da base pela altura, e o resultado é dividido por 2. Supondo um caso de pirâmide com 8 centímetros de base e altura de 3 centímetros, a área do triangulo é igual a (8 x 3) / 2 = 12 cm². Em seguida, digamos que a altura da pirâmide é 10 centímetros. O seu volume é, portanto, 40 cm³, uma vez que 12 cm² x 10 cm = 120 cm³; e 120cm³ / 3 = 40 cm³.

Curiosidade: Você sabia que cabem exatamente 3 pirâmides quadrangulares de base “l” e altura “h” dentro de um prisma de base e lateral “l” e altura “h”? Assim como cabem 2 triângulos dentro de 1 quadrado, na geometria espacial pode-se afirmar que cabem 3 pirâmides dentro de 1 cubo ou de um retângulo (desde que mantida a mesma área da base e altura). É justamente por isso que, enquanto o volume de um prisma é calculado com a equação V=Ab.h, o de uma pirâmide é a mesma equação, porém dividida por 3.