Estudo e Equações da Reta e Estudo do Coeficiente Angular


Equação geral

A condição para três pontos – A (xa, yA), B (xb, yB) e C (xc, yc) – serem colineares (estarem alinhados) é que eles satisfaçam à seguinte situação:
P (4, 3). 40×4 3 O y 3
= O -> 3x – 4y = O

Equação reduzida

Sendo Ax + By + C = O a equação geral de uma reta, com B * O, isolando-se y obtém-se:

Estudo e Equações da Reta

No entanto, sabe-se pela geometria de posição que dois pontos distintos determinam uma reta, a qual tem infinitos pontos. Então, considere apenas dois pontos -A (xa, yA) e B (xb, yB) – distintos e um terceiro ponto P (x, y) genérico.

y = mx + n -> equação reduzida da reta

Neste caso:
• m —> coeficiente angular;
• n —> coeficiente linear.

O coeficiente angular (m) é responsável pela inclinação da reta e o coeficiente linear (n) é o valor da ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas (y). Quando não existe o coeficiente angular, a reta é pa­ralela ao eixo das ordenadas (y) e aparece representada por x = k, sendo k um número real.

Cálculo do determinante

Ax + By + C = O -» equação geral da reta. Neste caso, A, B e C são números reais, sendo A e B não-nulos simultaneamente e x e y as coordenadas de um ponto genérico P da reta.

Atenção!
A função do 1° grau, estudada pela Álgebra, é uma reta.

Equação segmentaria

Considere-se uma reta que intercepta os eixos coor­denados em dois pontos distintos: P (p, 0) sobre o eixo das abscissas e Q (O, q) sobre o eixo das ordenadas.

Ponto pertencente à reta

Um ponto P (xq, y0) pertence a uma reta Ax + By + C = O se satisfaz a equação AxQ + By0 + C = 0. Ou seja, quando o x e o y da equação da reta são substituídos pelas coor­denadas do ponto e obtém-se a identidade 0 = 0.

Equação paramétrica

Uma equação é dita paramétrica da reta quando, além dos valores das variáveis x e y, que representam as coor­denadas de um ponto P (x, y) qualquer, ela – a equação -é dada em função de uma terceira variável (parâmetro) t, estando x e y em função de t.
a2 + b2 = l2 + O2 = l
ou a2 + b2 = O2 + (-1)2 = l

Interseção entre retas

A interseção entre duas retas de equações (r) AjX + B,y + C = O e (s) A2x + B2y + C = O é a solução do sistema linear formado pelas duas equações das retas.

x = /(t)
y = /(t)
—» equação paramétrica da reta

ESTUDO DO COEFICIENTE ANGULAR

Obtenção do coeficiente angular

O gráfico abaixo é de uma reta. A seguir observa-se o procedimento para obter a equação dessa reta.

3x-4y+ 12 = 0-» equação geral y = -r x + 3 —> equação reduzida

Observa-se, na equação reduzida, que o coeficiente angular é m = — e que o coeficiente linear é n = 3 (ordena­da do ponto de interseção da reta com o eixo das ordena­das y). Portanto, uma das formas de obtenção do coefici­ente angular consiste em encontrar a equação reduzida da reta. Considerando o ângulo a formado pela reta e o semi-eixo x no sentido positivo e anti-horário, tem-se que cateto oposto.
Sendo dados dois pontos A (xa, yA) e B (xb, yB) da reta, então:

Enfim, o coeficiente angular pode ser obtido da se­guinte forma:
• dada a equação da reta (fornia reduzida) —> y = mx + n;
• dado o ângulo -> m = tg a;
• dados dois pontos -> m = v – v

Equação do feixe de retas

Considerando um feixe de retas concorrentes em um ponto P (x0, y0). Considerando-se um outro ponto P1 (x, y) genérico de qualquer uma das retas do feixe, obtém-se o coeficien­te angular da reta em questão, e assim ela é diferenciada das demais.

Posições relativas entre duas retas

Como visto na aula anterior, a solução do sistema linear formado pelas equações de duas retas diz se elas são concorrentes ou paralelas. Agora, serão abordadas as condições para que duas retas sejam paralelas (distin­tas ou coincidentes) ou concorrentes perpendiculares.

Paralelas
Considere as retas (r) y = nijX + nl e (s) y = m2x + n2 paralelas.

A equação da reta que passa pelo ponto P (x0, y0) e apresenta coeficiente angular m pode então ser obtida por y – y0 = m • (x – xq) —» equação do feixe de retas.

Observação
A equação da reta r (paralela ao eixo y) é dada por x = xq e a equação da reta s (paralela ao eixo x) é dada por y = y0.

Perpendiculares

Considere as retas (r) y = perpendiculares.
y = m2x + n

Ângulo Entre Duas Retas e Distância de Ponto a Reta

Ângulo entre duas retas

Duas retas rés concorrentes e não-perpendiculares formam quatro ângulos entre si, dois a dois (opostos pelo vértice) congruentes, sendo os ângulos adjacentes su­plementares (somam 180°). Para calcular o ângulo entre duas retas (r) y = m,x + n, e (s) y = m2x + n2, vale a pena considerar duas situações, apresentadas a seguir.
•     As duas retas apresentam coeficientes angulares não-nulos (nenhuma delas é vertical). Dessa maneira, obtém-se sempre o menor ângulo (ân­gulo agudo) formado entre as retas. Para se obter o maior, ângulo (ângulo obtuso), é necessário calcular o seu su­plementar (180° – 9).

•     Uma das retas tem coeficiente angular nulo (uma ( delas é vertical). É possível generalizar a obtenção do ângulo da se­guinte forma: Dessa maneira, obtém-se sempre o menor ângulo (ân­gulo agudo) formado entre as retas. Para se obter o maior ângulo (ângulo obtuso), é necessário calcular o seu su­plementar (180° – 9).

Exercício  resolvido
(Unifor-CE) A medida do menor ângulo determinado
pelas retas de equações y = xey = (2- V3 )x + v3 – l é
a.    75°.                               d.   30°.
b.    60°.                               e.    15°.
c.    45°.
A resposta correta a esta questão é a alternativa d, pois y = x —» rrij = l
y = (2 – V3)x + V3 – l -> m2 = 2 – V3

É possível calcular a distância do ponto P à reta r obtendo-se a equação da reta perpendicular a r que pas­sa por P, fazendo em seguida a interseção entre r e a perpendicular. Isso dá origem ao ponto P1, logo passa a ser viável calcular a distância entre P e P’.

Distância de ponto a reta

A distância de um ponto P (xo, yo) a uma reta (r) Ax + By + C = O é igual ao valor da distância do ponto P até o ponto Pf, obtido pela projeção ortogonal do pon­to P sobre a reta r.