Função do 1º Grau: Função Quadrática e Estudo do Sinal


Denomina-se função do lº grau (ou função afim) toda função com a e b reais, a * O , que pode ser escrita da forma a seguir.

y = f(x) = ax + b

Exemplos:
• y = f(x) = 2x + 5 é uma função do 1° grau, com a = 2 eb = 5.
• y = f(x) = -3x + 4 é uma função do l? grau, com a = -3 e b = 4.
• y = f(x) = 3x é uma função do 1° grau, com a = 3 e b – 0.

Função do 1º Grau

Gráfico de uma função do 1º grau

O gráfico da função do l° grau y = f(x) = ax + b (a * 0) é não paralela aos coordenados (eixos). Há dois casos a se considerar:
• se a > O, a função f(x) = ax + b é crescente;
• se a < O, a função f(x) = ax + b é decrescente. Atenção Quando a = O em f (x) = ax + b, obtém-se f(x) = b, para todo x e IR. Tal função é denominada função constante, e seu gráfico é uma reta ao eixo das abscissas. Observações • Interseção com o eixo x: para y = O, tem-se ax + b — O => x
• Interseção com o eixo y: para x = O, tem-se y = a(0) + b => y = b. Logo, (O, b) é o ponto de interseção da reta y = ax + b com o eixo y.

Função quadrática

Denomina-se função quadrática (função polinomial) do 2°. grau, com a, b, e c números reais e a * O. O número de raízes da equação do 2°. grau é depen­dente do valor de v A. Portanto, três casos podem ocor­rer considerando a possibilidade quanto às raízes e a con­cavidade da parábola, conforme exemplos a seguir.

• A < O => raízes não reais =i> a parábola não in­tercepta o eixo das abscissas (eixo x). y = f(x) = ax2 + bx + c. Gráfico: O gráfico é uma parábola.

• A = O => raízes reais e iguais => a parábola tangencia o eixo das abscissas (eixo x).

Observações

O ponto de coordenadas (O, c) pertence ao gráfico da função quadrática, isto é, à parábola, pois, para x = O em y = ax2 + bx + c, tem-se y =a(0)2 + b(0) + c => y = c

• A > O => raízes reais e diferentes => a parábola intercepta o eixo das abscissas (eixo x) em dois pontos distintos.

Raízes ou zeros da função quadrática

As raízes ou zeros da função y = f(x) = ax2 + bx + c, quando existirem, serão os números reais x, que repre­sentam as abscissas dos pontos onde a parábola inter­cepta o eixo x. Resolvendo f(x) = O, tem-se ax2 + bx + c = O, cujas soluções são obtidas por meio da Fórmula de Báskara, definida por

Vértice

O vértice da parábola é o ponto extremo, denomina­do ponto de máximo ou de mínimo, conforme o sinal de a. Há dois casos, portanto, para serem analisados.

• Se a > O => tem-se a concavidade voltada para cima e o vértice é um ponto de mínimo.
• Se a < O => tem-se a concavidade voltada para baixo e o vértice é um ponto de máximo.

As coordenadas do vértice são determinadas pelas seguintes relações:

Observação

Báskara (1114—1185) foi o último matemático me­dieval importante da índia. Sua obra representa o co­nhecimento matemático hindu do século XII.

Estudo do sinal da função

Estudar o sinal de uma função y = f(x) significa de­terminar todos os valores reais de x para os quais y é positivo e todos os valores reais de x para os quais y é negativo.

Estudo do sinal da função do 1º grau

O valor numérico de y em y = f(x) = ax + b (a, b, e IR, a * 0) pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do valor numérico de x.

Resumindo:

Dada a função do lº grau y = f(x) = ax + b, os si­nais de f podem ser analisados conforme os esquemas a seguir.

Conforme o esboço gráfico, tem-se:

para x < 2 => y > O (segmento da reta acima do eixo x);
• para x = 2 => y = O (ponto da reta situado no eixo x);
• para x > 2 => y < O (segmento da reta abaixo do eixo x).