Poliedros: Conceito, Elementos, Teoremas e Poliedros Regulares


Os poliedros são estudados desde a Antiguidade. Os seguidores da escola pitagórica (por volta de 500 a.C.) provavelmente foram os descobridores de três dos cinco poliedros regulares. Os gregos associavam esses cinco sólidos aos elementos “fundamentais” da natureza: o tetraedro ao fogo; o hexaedro à terra; o octaedro ao ar; o icosaedro à água e o dodecaedro ao próprio universo. Sabe-se, atualmente, que essas formas aparecem espon­taneamente na natureza, os três primeiros em forma de cristais (a estrutura do carbono) e os outros dois como esqueletos de animais marinhos microscópicos.

Poliedros

Esses sólidos apresentam características singulares: suas faces são polígonos planos, cada um dos lados des­ses polígonos pertence a apenas dois dos polígonos for­madores do sólido poliédrico e cada um deles pode ser decomposto em triângulos retângulos. Poliedros podem ser atravessados por retas. Quando possuem todos os pontos do segmento de reta cujas extremi­dades pertencem a eles, são chamados convexos; quando não possuem, são chamados não-convexos ou côncavos.

Elementos de um poliedro

Todo poliedro é formado por polígonos e apresenta características comuns:
•         ângulos – referem-se aos ângulos dos polígonos que formam o poliedro;
•         arestas – são as interseções dos lados desses polígonos;
•         faces – indicam os próprios polígonos;
•         vértices – são os pontos de junção de três ou mais faces de um poliedro.

Nomenclatura

De acordo com o número de faces, os poliedros re­cebem diferentes nomes.

Importante!
Todo poliedro convexo obedece ao teorema de Euler, mas nem todo poliedro que obedece ao teo­rema de Euler é convexo. O poliedro a seguir é não-convexo e obedece ao teorema de Euler.

Total de lados das faces

É simples calcular o número total de lados das faces de um poliedro: basta observar que a união de duas fa­ces de cada polígono que forma o poliedro dá origem a uma aresta comum. Pode-se então afirmar que o total de lados é igual ao dobro do número de arestas.

Teorema de Euler

Leonhard Euler (1707-1783) foi o matemático suíço de maior expressão em todos os tempos e o teorema que recebe seu nome é aplicável a todos os poliedros con­vexos, que são chamados de poliedros eulerianos. O teorema de Euler afirma que, o número total de vértices, de qualquer poliedro convexo, somado ao número total de faces, será igual ao número total de arestas, somado de duas unidades.

V + F =A + 2
Em que:
V = número de vértices;
F = número de faces;
A = número de arestas.

Os poliedros não-convexos que não obedecem ao teorema de Euler, também são chamados de “monstros “. O poliedro abaixo é não-convexo e não obedece ao teorema de Euler.

Soma dos ângulos internos de um poliedro convexo

No tetraedro regular, a seguir, há quatro (“tetra”) fa­ces (“edros”) triangulares. Sabe-se que em cada triângulo a   soma   dos   ângulos   internos   vale   180°,   então S = 4 • 180° = 720°. Para somar todos os ângulos internos de um polie­dro convexo, pode-se utilizar um raciocínio dedutivo e identificar a fórmula padrão: S = 360° • (V – 2).

Poliedros de Platão

Esses poliedros recebem esse nome porque foram objeto de estudo de Platão e seus seguidores (aproximada­mente 350 a.C.). Para ser considerado um poliedro de Platão, o sólido deve obedecer ao Teorema de Euler, pos­suir o mesmo número de arestas em cada uma de suas faces e o número de arestas que partem de cada vértice deve ser o mesmo.

Poliedros regulares

Um poliedro convexo é regular quando todas as fa­ces são polígonos regulares e congruentes. Assim, os ân­gulos também são congruentes.
Existem somente cinco poliedros regulares:
•         tetraedro regular —» as faces são triângulos equiláteros;
•         hexaedro regular ou cubo —> as faces são qua­drados;
•         octaedro regular —> as faces são triângulos equiláteros;
•         dodecaedro regular —» as faces são pentágonos regulares;
•         icosaedro regular —> as faces são triângulos equiláteros.

Exercício resolvido

(UEL-PR) Todo poliedro convexo satisfaz o teore­ma de Euler, cuja expressão éV + F-A=2, em que V, F e A representam, respectivamente, o número de vérti­ces, de faces e de arestas do poliedro. Então, é correto afirmar que:
a.    todo poliedro que satisfaz o teorema de Euler é regular.
b.    todo poliedro que satisfaz o teorema de Euler é poliedro de Platão.
c.    todo poliedro que satisfaz o teorema de Euler é convexo.
d.   todo poliedro regular satisfaz o teorema de Euler.
e.    todo poliedro convexo que satisfaz o teorema de Euler é regular.

Tetraedro regular

É um poliedro regular representado por uma pirâmi­de triangular regular, associado às esferas circunscrita e inscrita ao sólido, na qual as faces laterais são triângu­los congruentes ao triângulo da base.

Hexaedro regular ou cubo

É um poliedro regular mais comum, representado por um prisma quadrangular regular, no qual todas as faces são quadrados.

Importante!
Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é regular.

Octaedro regular
É um poliedro regular representado pela fusão de duas pirâmides quadrangulares regulares pelas bases e associado às esferas circunscrita e inscrita ao sólido. No octaedro regular, todas as faces laterais são triângulos equiláteros, ou seja, a medida dos lados é congruente à medida dos lados do quadrado da base.

Dodecaedro regular
É um poliedro regular que apresenta pentágonos regulares em todas as doze faces. Seu formato é muitas vezes associado ao de uma bola de futebol, no entanto, esta apresenta pentágonos e hexágonos.

Icosaedro regular
É um poliedro regular que apresenta o triângulo equilátero como polígono formador de todas as suas vinte faces.
A tabela a seguir apresenta os poliedros regulares e algumas de suas características: