Triângulos: Lados, Ângulos, e demais Elementos


Os triângulos têm fundamental importância no estu­do da Geometria, tanto a plana quanto a espacial. Na Antiguidade, a civilização egípcia foi a que, de forma prática, mais fez uso dessas figuras geométricas, pois a construção das pirâmides exigiu larga aplicação das pro­priedades desse polígono. Acredita-se que naquele tem­po os egípcios já dominavam o que mais tarde viria a ser conhecido como Teorema de Pitágoras. Como o próprio nome diz, triângulo é o polígono convexo composto de três ângulos e, consequentemente, de três lados.

Triângulos

Condição de existência

Um triângulo só existirá se qualquer de seus lados ti­ver medida menor que a soma das medidas dos outros dois lados e maior que o módulo da diferença das medidas dos outros dois lados. Observe as seguintes situações:

É importante lembrar que:
• a soma dos ângulos internos vale 180°;
• o maior lado se opõe ao maior ângulo e o menor lado se opõe ao menor ângulo.

Por exemplo, sendo’2 cm e 3 cm as medidas de dois dos três lados de um triângulo, a medida do terceiro lado encontra-se no seguinte intervalo:
|3 – 2| < i < 3 + 2. l < i x = 80°

Classificação quanto aos ângulos

Retângulo: É aquele que apresenta um ângulo reto (igual a 90°). Consequentemente, seus outros dois ângulos são agudos (menores que 90°) e complementares (somam 90°). No triângulo retângulo, vale o Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2.
Obtusângulo: É aquele em que um dos ângulos é obtuso (maior que 90°). No triângulo obtusângulo, vale a relação a2 > b2 + c2 (Teorema de Clairaut).
Acutângulo: É aquele em que todos os ângulos são agudos (me­nores que 90°). No triângulo acutângulo, vale a relação a2 < b2 + c2 (Teorema de Clairaut).

Cevianas e pontos notáveis de um triângulo

É todo segmento de reta com uma extremidade em um vértice de um triângulo e a outra no lado oposto a ele.É a ceviana que une um vértice ao meio do lado opos­to a ele.

Mediana

O encontro das medianas é o ponto chamado de ba­ricentro, que se representa por B ou por G, já que ele indica o centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois outros segmentos, sendo a medida dele até o vértice o dobro da medida dele até o meio do lado. Â = 90° e B + C = 90C

Bissetriz

Bissetriz interna é a ceviana que divide qualquer dos ângulos internos em dois outros ângulos congruentes. O encontro das bissetrizes é o ponto chamado de incentro, que se representa por I, já que indica o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Mediatriz

É a reta perpendicular ao lado do triângulo, passan­do pelo ponto médio deste. O encontro das mediatrizes é o ponto chamado de circuncentro, que se representa por C, já que indica o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. A mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos extremos do segmento.

Em um triângulo equilátero, todas as cevianas (medianas, bissetrizes, mediatrizes e alturas), bem como os pontos de encontro delas (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) são coincidentes.

Altura

É a ceviana com origem em um vértice e perpendi­cular ao lado oposto. O encontro das alturas é o ponto chamado de ortocentro, que se representa por O.

Teorema da bissetriz interna

Em um triângulo, a bissetriz interna de um ângulo divide o lado oposto ao ângulo em segmentos propor­cionais aos outros dois lados adjacentes.

Observações

Em um triângulo isósceles, a mediana, a bissetriz e a altura, relativas à base, são re­presentadas pelo mesmo segmento e encon­tram-se sobre a reta suporte da mediatriz relativa à base (lado de medida não con­gruente); Em um triângulo isósceles, o bari­centro, o incentro, o circuncen­tro e o ortocentro são colineares.