Análise Combinatória e Princípio Fundamental da Contagem


A análise combinatória requer a noção daquilo que em Matemática se convencionou denominar agrupamento. Define-se como agrupamento uma reunião de elementos em número finito. Um agrupamento é dito simples quando todos os seus elementos são distintos. Exemplo: (abe). Um agrupamento é dito com repetição quando pelo menos um de seus elementos está presente no agrupa­mento mais de uma vez. Exemplo: (abcab). Define-se como taxa ou classe de um agrupamen­to o número de elementos (distintos ou não) que ele con­tém. Assim, o agrupamento (abcd) é de taxa 4 e o agru­pamento (abcab) é de taxa 5.

Análise Combinatória

Análise combinatória é a parte da Matemática que estuda a formação, a contagem e as propriedades dos agrupamentos que podem ser construídos, a partir de de­terminadas leis, com objetos de qualquer natureza. Aten­dendo ao que solicitam os programas de vestibular, nesta aula serão estudados apenas os agrupamentos simples. Se­rão feitas, no entanto, algumas referências a permutações com repetição.

Diz-se que dois agrupamentos simples e de mesma taxa diferem pela ordem quando possuem os mesmos elementos em ordens diferentes. Exemplos: (abcd) e (cadb). Diz-se que dois agrupamentos simples e de mesma taxa diferem pela natureza quando existe em cada um deles ao menos um ele­mento que não está presente no outro. Exemplo: (abe) e (bad). A seguir são apresentadas algumas situações do cotidiano, observáveis nos estudos de análise combinatória.

I.   Exercício resolvido
Em uma gaveta de armário de um quarto escuro há 6 camisetas vermelhas, 10 camisetas bran­cas e 7 camisetas pretas. Qual é o número mínimo de camisetas que se deve retirar da gaveta, sem que se vejam suas cores, para que:
a.    se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de cores diferentes;
b.    se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de mesma cor;
c.    se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma camiseta de cada cor.

Para solucionar esse problema, deve-se raciocinar de maneira tal que sejam formados os pares ou então uma camiseta de cada cor, conforme perguntado.
Deve ser encontrada a resposta: a. 11, b. 4, c. 18.

Quantas vezes você apostou nas loterias, como mega-sena, dupla-sena, quina, lotofácil, loteria federal, etc.? Mas o que leva milhões de pessoas a sonha­rem com o prêmio maior? Certamente a possibilidade, apesar de remotíssima, de se tornar rico de uma hora para outra. É importante que os apostadores saibam que é quase impossível acer­tar os seis números da mega-sena. No entanto, eles cer­tamente fazem a seguinte observação: alguém sempre é o vencedor. Uma explicação para isso é que com milhões de pes­soas apostando, a possibilidade de uma das apostas ser sorteada é bastante grande. Então alguém acaba acertan­do os números.

Principio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece o número de maneiras distin­tas de ocorrer um evento composto de duas etapas inde­pendentes. Se um evento E é composto de duas etapas independentes E, e E2, que podem ocorrer de n, e n2 modos, respectivamente, então o evento E pode ocor­rer de (n} • n2) maneiras diferentes.

I.    Exercício resolvido

Uma lanchonete serve dois tipos diferentes de san­duíche e três tipos de refrigerante. Pode-se calcular o número de modos distintos de uma pessoa fazer um lanche (um sanduíche S e um refrigerante R) construindo uma árvore de possibilidades do even­to, a partir de duas etapas independentes: a escolha do sanduíche e a escolha do refrigerante. A partir da árvore de possibilidades, constata-se que é possível fazer o lanche de seis modos distintos.

II.  Exercício resolvido

Temos três cidades: A, B e C. Existem três rodovias que ligam A com B e quatro que ligam B com C. Partindo de A e passando por B, de quantas formas podemos chegar até C?

Fatorial de um número natural
O! = l
l! = l
2! =2 • l =2
3! = 3 • 2 • l = 6
n! = n • (n – 1) • (n – 2) … l
(n + 1)! = (n + 1) • n!

III.  Exercício resolvido

Quantos números de dois algarismos (distintos ou não) podem ser formados usando os dígitos O, 1,2, 3, 4 e 5? Cada número pode ser considerado um par de dígi­tos: |D|U|. em que D é o algarismo das dezenas e U o algarismo das unidades. Para o algarismo D podem ser usados os dígitos l, 2, 3, 4 ou 5.
Para o algarismo U podem ser usados os dígitos O, l, 2, 3, 4 ou 5. Então, a quantidade de números de dois algarismos (dis­tintos ou não) que podem ser formados é 5 • 6 = 30.

IV.  Exercício resolvido

Quantas placas de carro com três letras e três alga­rismos é possível formar? (Utilizar 26 letras.) Para os algarismos usam-se os dígitos do conjunto {O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, que são em número de dez.

V.   Exercício resolvido

Com os algarismos l, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números pares de três algarismos distintos podem ser escritos?

Arranjo Simples: Nos arranjos simples, os agrupamentos diferem pela ordem ou pela natureza de seus elementos.

Permutação simples: É um caso particular de arranjos simples. Os agrupamentos só diferem entre si pela ordem de seus ele­mentos.

Combinações simples: Nas combinações simples, os agrupamentos só dife­rem entre si pela natureza de seus elementos.