Análise Combinatória e Princípio Fundamental da Contagem


Análise Combinatória
Um dos assuntos mais recorrentes e cobrados em provas: análise combinatória e princípio fundamental da contagem. Neste post, você vai fazer uma revisão completa sobre o assunto. Preparado?
Vários problemas de matemática podem ser resolvidos com análise combinatória ou pelo princípio fundamental da contagem. Para entender e compreender as diferenças de cada um é fundamental conhecer seus conceitos.

Princípio Fundamental da Contagem

Antes de entrar no assunto, é imprescindível revisar fatorial, que pode ser definido como:

n! = n(n-1) (n-2)
3! 3x2x1=6

A leitura deve ser feita da seguinte maneira: n fatorial ou fatorial de n

O princípio fundamental da contagem é formado por eventos que são compostos por etapas sucessivas e independentes. Também chamado de princípio multiplicativo, multiplica-se o número de opções pelas escolhas.

Por exemplo, Pedro tem 7 blusas e 2 calças. Quantas opções diferentes ele pode combinar a roupa?

Resolução: 7.2 = 14 possibilidades

Tipos de análises combinatórias

Arranjos

Nos arranjos, os elementos são agrupados de forma dependentes da ordem e dos elementos da natureza. Neste sentido, para conseguir o arranjo simples de n elementos tomados por p a p (p ≤ n) pode-se usar a seguinte fórmula:

An,p=n!/ (n−p)!

A = arranjo
N= elementos
P= agrupamentos

Permutação simples

Neste caso, os elementos diferenciam-se pela ordem, ou seja, pela posição. Pode ser expressa por meio da fórmula:

Pn = n!
Pn = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)…..1!

Exemplo:

Quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem se sentar em um banco?

P5=5! 5.4.3.2.1 =120

Permutação com repetição

Ocorre quando temos um conjunto n de objetos, pessoas ou elementos que tenham k elementos repetidos.

Quantos anagramas podem ser formados com a palavra professora?

P2,2,2/10=10!/2!⋅2!⋅2!=453.600 anagramas

Combinações

Usadas para calcular problemas em que a ordem dos elementos não importa. Geralmente, abrange problemas relacionados à comissão, equipe, grupos, entre outros.

A fórmula pode ser expressa por:

C (n,p)= n!/p!(n-p)

C= combinação
N= elementos
P= agrupamento

Atenção: p ≤ n

Exemplo: quantas maneiras distintas podem ser separadas 10 bolas de cores diferentes colocando 2 em cada caixa?

C(10,2)= 10!/2!.(10-2)! = 45

Agora, é só separar exercícios de análise combinatória e princípio fundamental da contagem para você treinar. Sucesso nos seus estudos!