Combinatória


Dentro do contexto da matemática, a Combinatória, também chamada Análise Combinatória, é um segmento que analisa as coleções finitas de objetos que se relacionam com alguns critérios específicos, dando ênfase, mais especificamente, à contagem de elementos nessas coleções. Além disso, a Combinatória pode ser classificada em:

Combinatória

- Combinatória Enumerativa: Consiste na análise da quantidade de maneiras que alguns padrões podem ser formados. Um exemplo para ilustrar tal situação pode ser a seguinte: em um determinado conjunto infinito contendo conjuntos infinitos, a Combinatória Enumerativa tem o propósito de descrever a função que conta o número de contagens em Sn para cada n.

- Combinatória Extremal: Parte da decisão de que o determinado existe.

- Combinatória Algébrica: Se ocupa com as estruturas algébricas que um objeto pode conter.

O estudo da Combinatória adquiriu importância a partir do ano de 1915, quando o matemático inglês Percy Alexander MacMahon publicou o seu estudo intitulado “Análise Combinatória”.

Mais tarde, outros dois matemáticos se destacaram no estudo da Combinatória. São eles:

- Gian-Carlo Rota: Matemático norte-americano nascido na Itália. Desenvolveu importantes análises a respeito do campo de estudo da Análise Combinatória.

- Paul Erdõs: Matemático húngaro que contribuiu em vários campos teóricos da matemática, tais como a Teoria dos Números, a Teoria dos Grafos, a Teoria dos Conjuntos, a Teoria das Probabilidades, entre outras.

Devido ao seu caráter bastante teórico, a Análise Combinatória é bastante utilizada nos estudos que envolvem probabilidade e lógica.

O estudo da Análise Combinatória e as suas características

A Análise Combinatória compreende uma série de cálculos que possibilitam a constituição de grupos relacionados à contagem, de maneira que realiza uma análise das possibilidades e das combinações viáveis entre um determinado conjunto de elementos.

Para efetuar o estudo da Análise Combinatória, os matemáticos fazem uso de determinadas ferramentas. São elas:
- Arranjo Simples: no Arranjo Simples, os agrupamentos dos elementos são dependentes da grandeza e da ordem dos mesmos. Para saber qual é o Arranjo Simples, é necessário efetuar uma equação que envolve as variáveis “n” e “p”. Sendo assim, em um conjunto qualquer com n elementos e um valor para p, o Arranjo Simples será constituído de p elementos. Para ilustrar isso e calcular o Arranjo Simples, é necessário fazer uso da seguinte equação:
A n,p = n!
(n – p)!

Onde n corresponde à quantidade de elementos existente no conjunto e p corresponde a um número natural menor ou igual a n, que estabelece a união dos elementos.

- Combinações Simples: correspondem a subconjuntos em que a ordem dos elementos não denota relevância, mas ainda são caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Sendo assim, a Combinação Simples corresponde aos arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos.
Para efetuar o cálculo de uma Combinação Simples, é necessário utilizar a equação
Cn,p = n!
p! (n – p)!

Analisando a equação dada, temos que n corresponde à quantidade de elementos de um conjunto e p corresponde a um número menor ou até igual, representando a quantidade de elementos que constituirão os agrupamentos.

- Permutações: Correspondem a agrupamentos ordenados onde o número dos elementos (n) do agrupamento é igual ao número dos elementos que se encontram à disposição. Para ilustrar isso, temos a seguinte equação:
Pn = n!

A Probabilidade e o Princípio Fundamental da Contagem

O estudo da Análise Combinatória também abrange o conceito teórico da Probabilidade. Sendo assim, Probabilidade, em linguagem matemática, corresponde a um conceito que possibilita analisar ou efetuar o cálculo das chances de se obter um resultado específico em relação a um evento aleatório, seja a possibilidade de ganhar uma aposta ou até mesmo um lance de dados.
Nesse contexto, a probabilidade é o estudo que estabelece o resultado existente entre o número dos eventos que são possíveis e o número daqueles que são favoráveis.
Portanto, o cálculo de probabilidade efeito por meio da equação:
P = na/n

Onde temos as seguintes variáveis:
– P: É a Probabilidade propriamente dita.
– Na: É a quantidade de eventos que são favoráveis.
– N: É a quantidade de eventos possíveis.

Além disso, há também o Princípio Fundamental da contagem, que consiste no seguinte enunciado:

Quando um determinado evento é formado por um número n de etapas que são sucessivas e ao mesmo tempo independentes, de uma maneira que as possibilidades da primeira etapa são “x” e as possibilidades da segunda correspondem a “y”, teremos então o número total de possibilidades de o evento ocorrer, que é o produto (x).(y).

Analisando o conceito explicitado acima através de um viés bem prático, podemos aferir que no Princípio Fundamental da Contagem, a quantidade de alternativas das escolhas dadas são multiplicadas.

Além disso, no estudo da Análise Combinatória há também a questão do Fatorial, em que o Fatorial de um número n é o produto dos seus números antecessores. Vale lembrar que não existe fatorial quando o assunto são números negativos. Ou seja, o n é sempre igual ou maior que zero.