Conjunto dos Racionais


Podemos dizer que o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números que chamamos de naturais, o zero e ainda o conjunto dos opostos dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4, …, n, …}. Este conjunto dos números racionais é caracterizado através da letra Z (Zahlen = que significa número no idioma alemão). Este conjunto pode ser escrito por Z = {…, – 4, – 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}.

Além dos números chamados de inteiros, o conjunto dos números racionais ainda possui outros subconjuntos:

O conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {…, – 4, – 3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …}
Z* = Z – {0}

Racionais

O conjunto dos números inteiros não negativos:
Z* = {0, 1, 2, 3, 4, …}
Z é o próprio conjunto dos números naturais.

O conjunto dos números inteiros positivos:
Z* = {1, 2, 3, 4, …}

O conjunto dos números inteiros não positivos:
Z* = {…, – 4, – 3, -2, -1, 0}

O conjunto dos números inteiros negativos:
Z* = {…, – 4, – 3, -2, -1}

Módulo: chamamos de módulo de um número interno a distância ou afastamento dessse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por I I.

O módulo de 0 é 0 e indica-se por I0I = 0
O módulo de + 7 é 7 e indica-se I+7I = 7
O módulo de – 9 é 9 e indica-se I-9I = 9
Sendo diferente de zero, o módulo de qualquer um dos chamados números inteiros será sempre positivo.

Números opostos: chamamos de números inteiros opostos, aqueles que quando somados apresentam resultado igual a zero, ou seja, possuem distância igual em relação ao ponto de origem.

Exemplo: o oposto do número 2 é – 2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 = (-2) = (-2) +2 = 0.

Adição, subtração e multiplicação de números inteiros

Para que você entenda de uma maneira mais eficaz, a adição e a subtração de números inteiros, considere a ideia de perder e a ideia de ganhar.

Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

Vale ressaltar que nunca poderá ser dispensado o sinal de subtração que se encontra antes de um número chamado de negativo.

Propriedades da adição de números inteiros: o conjunto Z é fechado para a adição, ou seja, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Exemplo: 2 + (3+7) = (2 + 3) +7

Comutativa: Exemplo: 3 + 7 = 7 + 3

Elemento Neutro: existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z. Exemplo: 7 + 0 = 7

Elemento oposto: para todo z em Z, existe (-z) em Z. Exemplo: 9 + (-9) = 0

Na subtração de números inteiros, ela é empregada quando: precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade, temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais do que a outra, temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. A subtração é a operação inversa da adição.

Observe que: 9 – 5 = 4
9= minuendo
– 5 = subtraendo
4 = diferença

Quando adicionamos o primeiro número com o oposto do segundo que está sendo subtraído, é o mesmo processo que fazemos quando subtraímos dois inteiros.

No processo de multiplicarmos os números inteiros, há uma maneira bem simples de adição quando estão sendo repetidos os números. Observe a regrinha de sinais que deve ser seguida quando se trata de uma operação de multiplicação matemática.

(+a) x (+a) = (+a)

(+a) x (-a) = (-a)

(-a) x (+a) = (-a)

(-a) x (-a) = (+a)

A partir dessa regra citada acima, fica possível concluirmos que:
Quando os sinais dos números são iguais, o resultado do produto é positivo.
Quando os sinais dos números são diferentes, o resultado do produto é negativo.

Como é feita a multiplicação dos chamados números inteiros: quando multiplicamos dois números inteiros, o resultado só poderá ser um número inteiro. Dizemos então que este conjunto está fechado para ser multiplicado.

Associativa: Exemplo: 2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7

Comutativa: Exemplo: 3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: quando ele é multiplicado por 1, o resultado é o próprio número.
Exemplo: 7 x 1 = 7

Elemento inverso: para todo número inteiro, dizemos que existe um número inversor que não é igual a 0.

Distributiva: para todos, a, b e c que estão no conjunto Z.