Matrizes: Transposta, Simétrica e Inversa

Matrizes podem ser definidas como uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. Quando possuem ordem m x n são compostas por conjuntos m multiplicado por n que estão dispostos em m linhas e n colunas.

Essa operação matemática costuma ser utilizada para a resolução de sistemas lineares e a matriz pode ser nula, oposta, transposta, simétrica ou inversa.

Tipos de matrizes

Neste artigo você aprenderá mais sobre as matrizes transposta, simétrica e inversa, incluindo exemplos práticos para facilitar o entendimento:

• Transposta

Matriz transposta, definida por At, é aquela que tem suas colunas exatamente iguais as linhas da matriz A. Para encontrar a transposta de uma matriz, basta reescrevê-la colocando suas linhas como colunas e colunas como linhas.

• Simétrica

Para ser simétrica uma matriz precisa ser quadrada e sua transposta deve ser igual à matriz A. Cumprindo todos esses requisitos, temos uma matriz simétrica.

• Inversa

Matriz inversa, definida por A(-1) é aquela que quando multiplicada pela matriz A original resulta na matriz identidade.

Exemplos de cada tipo de matriz

Para facilitar o entendimento de cada tipo de matriz, confira abaixo um exemplo:

• Matriz transposta

Encontre a matriz transposta de A = 1 4
2 -1
-3 0

Como basta reescrever as colunas no lugar das linhas, temos que a matriz At = 1 2 -3
4 –1 0

• Matriz simétrica

A matriz A = 1 3 é simétrica?
3 -2

Para descobrir a resposta primeiro temos que fazer a matriz transposta At = 1 3
3 -2

Observe que a matriz A é igual à matriz transposta At. Portanto podemos dizer que a matriz A é simétrica.

• Matriz inversa

As matrizes A = 3 0 2 e B = 1 0 -2 são inversas?
9 1 7 -2 1 -3
1 0 1 -1 0 3

Para descobrir basta fazer a multiplicação A . B = 1 0 0
0 1 0
0 0 1

Se você não possui a matriz inversa e quer descobrir se ela existe, basta usar sistemas lineares e determinantes. O determinante da matriz A precisa ser diferente de zero. Sabendo isso basta fazer a multiplicação, encontrar o sistema linear e a matriz inversa.

Ex:

1 2 . a b = 1 0 -> a + 2c b + 2d = 1 0 -> a + 2c = 1 e b + 2d = 0
3 4 c d 0 1 3a + 4c 3b + 4d 0 1 3a + 4c = 0 3b + 4d = 1

A partir daí é só resolver o sistema linear e você terá obtido a matriz inversa de A.