Média Harmônica

A Média Harmônica é uma das três médias Pitagóricas, sendo as outras a Médias Aritmética e a Média Geométrica. Embora seja muito útil nos dias de hoje, a origem delas está no período da Antiguidade Clássica Europeia, na Grécia Antiga. Durante o reinado de Docleciano (284 – 305), na região conhecida como Alexandria, surgiu uma escola que foi responsável por estudos inovadores e extremamente importantes para o desenvolvimento da ciência. Entre esses estudos estão às três médias. Seu mentor foi o matemático Pitágoras, um estudante dedicado de Eudoxo e Arquimedes.

A obra “Coleção” (Synagoge) de Pitágoras, ou Papus de Alexandria, como também era chamado, foi um marco na história da ciência, pois lançou as bases para diversos estudos matemáticos. Além de fornecer uma rica fonte para o entendimento da matemática grega, esse livro fornece interpretações para estudos de importantes matemáticos antigos, como Apolônio, Ptolomeu, Euclides e Arquimedes. Com uma visão revolucionária para sua época, Pitágoras mudou completamente o rumo da matéria desde então.

Na seção II do livro III de Coleção o matemático grego preocupou-se em colocar no mesmo semicírculo as três médias, harmônica, geométrica e aritmética. Vamos falar nos aprofundar um pouco na harmônica.

Utilização da Média Harmônica

A média harmônica é usada quando duas grandezas inversamente proporcionais precisam ser calculadas com o objetivo de descobrir sua média. Um exemplo clássico dessa situação é quando precisamos trabalhar com conceitos de espaço e tempo.

Se um elemento viaja em uma determinada velocidade, seu tempo será x. Quando aumentamos a sua velocidade, o tempo de percurso (x) irá alterar proporcionalmente.

Vamos a um exemplo para que o conceito fique mais claro. Digamos que estamos trabalhando em um experimento para o qual é necessário estipular a média harmônica entre 2, 6 e 8. Antes de partirmos para o resultado final, é necessário que peguemos os valores dado previamente e calculemos a média aritmética dos inversos. Teremos então o resultado 19/72. O próximo passo seria fazer o inverso do resultado. A conclusão é de uma média harmônica de 2, 6 e 8: 3,7894.

O trio pitagórico fornece meios para calcular uma média em variadas situações e em diversas matérias. Por exemplo, em diversas situações na Física a média real pode ser obtida por cálculos da média harmônica desde que se possa levar em consideração ratios e rates. Na ciência da computação a média harmônica é utilizada, por exemplo, para recuperar informações perdidas e ensinar uma máquina sequências de dados.

Ela é utilizada também em cálculos financeiros, sendo o método preferido para extrair os números médios dos múltiplos. Por exemplo, em relação de preço e ganho, na qual o preço é o numerador, o método é empregado de maneira que o resultado obtido seja satisfatório em uma determinado plano financeiro de longo prazo. O método é satisfatório porque cada ponto de dados possuirá um peso igual. Isso não aconteceria de maneira nenhuma se fosse utilizado no cálculo uma média aritmética. Isso porque os pontos de dados altos teriam um peso superior aos pontos de dados baixos. Mesmo sendo um erro conhecido, ele é muito frequente.

Outras relações da Média Harmônica

A harmônica sempre é a mínima entre as três médias quando se trata dos conjuntos de dados positivos que possuem ao menos um par de valores nonequais. Nesse caso a aritmética é a de maior valor enquanto a geométrica está no meio termo. Se um dado conjunto de elementos não vazios apresenta todos os seus valores em igual proporção, as médias não apresentarão nenhuma diferença entre si.

Podemos citar como exemplo o caso especial da potência média M-1. Quando se compara o resultado ao de outra média, a aritmética, percebemos que a tendência nesse caso é uma mitigação do impacto em relação a valores de tamanho ascendente e atípicos. Além disso, esse resultado também irá impactar os valores pequenos. Isso se deve ao fato de que a média harmônica invariavelmente tenderá para um valor mínimo de elementos da lista de números da qual seu valor foi extraído.

Devido à similaridade dos cálculos das médias pitagóricas, é comum que se cometam erros na hora de extrair valores em determinadas sequências numéricas. Normalmente, a média aritmética é utilizada de maneira equivocada em situações nas quais se deveria utilizar a média harmônica (como nos casos financeiros citados acima). Muitas vezes isso acontece pela falta de compreensão de casos específicos, embora até mesmo profissionais da matemática cometam esse erro.

Em algumas fórmulas é possível ver com clareza a relação que se dá entre as médias aritmética e geométrica com a harmônica. Pode-se chegar a isso fazendo um considerável número de interpretações do denominador que deve ser a média da aritmética do produto em questão. Em uma fórmula que exija a compreensão da média de preservação da propagação através de um conjunto específico de números não-idênticos, a média harmônica será sempre diminuída. Nesses casos a média aritmética será alterada na medida em que um ou dois elementos são afastados um do outro.