Mudança de base

O logaritmo é um dos assuntos que mais causam dúvidas nos estudantes, tanto de ensino médio quanto de ensino superior, uma vez que fazem parte do conteúdo básico dado em pré-cálculo.

Para que seja possível calcular a mudança de base de logaritmos, é necessário ter em mente que é preciso seguir algumas regras. No entanto, essas regras exigem conhecimento explícito sobre o que é os logaritmos e como fazer o cálculo dos mesmos.

Assim, na primeira sessão, será retomado o conceito de logaritmo. Na sequência, serão expostas as regras de mudança de base e, finalmente, serão resolvidos alguns exercícios para que seja possível fixar o conteúdo aprendizado.

Conceito e cálculo de logaritmo

Na matemática, chama-se de logaritmo de um número o expoente a que qualquer outro valor fixo, chamado de base, deve ser elevado para que haja a produção desse número. À primeira vista, parece se tratar de um conceito complexo, mas na verdade é bem simples. Uma forma de encarar o logaritmo é como o inverso da potenciação.
Exemplo prático:
-Potenciação: é um número z que elevado a x potência resulta em y. Assim, 2 (z) elevado a 3 (x) é igual a 8 (y).
-Logaritmo: revertendo a operação de potenciação acima, pode-se dizer que o logaritmo de 8 (a) na base 2 (b) é igual a 3 (y), ou, em notação matemática, log2 8=3.
Para que seja possível fazer operações com logaritmos, é necessário verificar se as operações seguem algumas condições de verdade, pois, caso não sigam, é impossível realizar o cálculo. São elas:
-(a) deve ser maior que 0;
-(b) deve ser diferente de 1.
Além disso, há situações nas quais é necessário utilizar as propriedades dos logaritmos para que o cálculo seja simplificado. Assim:
1) log A . B = log A . log B;
2) log A / log B = log A – log B;
3) log A B = log A / log B;
4) log A elevado a B = B – log A.

Regras de mudança de base

No exemplo dado acima, o cálculo do logaritmo foi bastante fácil pelo fato de 3 resultar em uma potência inteira de 2, ou seja, 8. No entanto, existem situações em que o cálculo resultará em um número quebrado, em especial quando se faz a utilização da calculadora, pois nela só é possível calcular logaritmos na base 10.
Isso significa que é necessário realizar a transformação na base do algoritmo para que o cálculo seja possível e, por isso, a regra de mudança de base é extremamente importante em diversos casos.
Suponha que se queira calcular log 2 50. Nesse caso, transformar a base é de extrema utilidade. Mas como isso é feito? Por meio da regra que segue:
log b(a) = log . (a) / log . (b).
Portanto, a regra indica que se deve escolher uma base qualquer e utilizar como logaritmando em cada termo da divisão o logaritmando e base do algoritmo original. No exemplo dado, a aplicação da regra resultaria em:
log 2 (50) = log 10 (50) / log 10 (2).
Assim, esse cálculo pode ser feito na calculadora de maneira normal, resultando em aproximadamente 5,644.
As mesmas condições de verdade devem ser seguidas, isto é, a base deve ser positiva e diferente de 1 e os argumentos devem ser maior que 0.

Exercícios de fixação

1. Utilizando a regra de mudança de base, efetue o cálculo dos seguintes logaritmos:
a) log 4 (64) com uso da base 2
Aplicando a regra para a base 2, temos log 2 (64) / log 2 (4). Efetuando o cálculo de cada algoritmo separado, log 2 (64) = 6 e log 2 (4) = 2. Assim, realizando a divisão temos que log 4 (64) = 3.
b) log 3 (7) com uso da base 10.
Pela regra, tem-se que log 10 (7) / log 10 (3). Efetuando os cálculos separadamente, log 10 (7) = e 0,845 log 10 (3) = 0,477. Efetuando a divisão, temos que log 3 (7) é aproximadamente 1,711.
c) Sendo log 10 (2) = 0,301 e log 10 (3) = 4,777, calcule o valor de log 9 (512).
A primeira dedução é que pode-se escrever log 9 (512) = log 10 (512) / log 10 (9). Realizando o cálculo de cada termo separado:
-log 10512 = log 1029 = 9 . log 102 = 9 . 0,301= 2,709;
-log 109 = log 1032 = 2 . log 103 = 2 . 0,477= 0,954.
Realizando a divisão, tem-se que log 9 (512) é aproximadamente 2,839.
d) Qual expressão equivale a log (8) . log 8 (a)?
Apesar de não ser necessário fazer o cálculo com números propriamente ditos, é possível utilizar raciocínio lógico para resolver o exercício. Assim, observando a expressão, é possível concluir que a base do segundo algoritmo é igual ao argumento do primeiro. Assim, aplicando a regra de mudança de base:
log (8) . log 8 (a) = log (8) . log (a)/log (9). Como os termos iguais (log (8)) estão localizados em lados opostos do sinal de igual, é possível cancelá-los. Disso resulta que sobrará apenas log (a). Portanto, log (8) . log 8 (a) = log (a).
Assim, mesmo que o conceito de mudança de base para o cálculo de logaritmos possa parecer algo que não será utilizado com tanta frequência, é fundamental na resolução de uma série de problemas, e por isso deve ser fixado pelos alunos.