Multiplicação de um número real por uma matriz

Quando falamos em matemática e seus conteúdos básicos para o currículo da educação, algo que os estudantes mais têm medo é a matriz e as operações com ela realizadas. No entanto, se pararmos para analisar, trabalhar com este tipo de conteúdo é bastante simples. Com o mínimo de atenção às aulas, com a prática de exercícios para a fixação do conteúdo e com possíveis dúvidas sempre esclarecidas, é possível facilmente dominar o conteúdo.

Neste artigo, trataremos uma operação específica com frações e que, como ficará claro no decorrer do artigo, bastante simples: a multiplicação de matrizes. Mas, antes de mais nada, é necessário entender os conceitos que aqui serão trabalhados, isto é, a matriz propriamente em si quanto aquilo que as multiplica, os números naturais.

Entendendo os conceitos

Em matemática, uma matriz, geralmente representada por m x n, é uma tabela que possui um determinado número de linhas e um determinado número de colunas sobre um conjunto. A principal utilidade das frações é para a resolução de sistema de equações lineares ou transformações lineares.

O primeiro uso do conceito matemático de matriz, mesmo que de forma implícita, ocorreu em meados do século XIX, quando um matemático chamado Langrange utilizou-se do conceito para o estudo de mínimo e máximos, de determinada função real de n variáveis, dentre outros.

No entanto, se neste primeiro uso elas tiveram uma função meramente estática, na álgebra linear elas tem inúmeras outras funções, como por exemplo, gravar dados e informações e funções que agem em vetores visando transformá-los em outros vetores.

Uma matriz matemática deve ser notada em determinada forma. Assim, as matrizes são denotadas em caixa alta, enquanto que seus elementos, sempre dentro de parênteses ou colchetes, são anotados em caixa baixa. Os elementos das matrizes também são anotados de forma especial, em linhas e colunas. Dessa maneira, uma matriz que tenha x linhas e y colunas é chamada de matriz x por y.

As matrizes são classificadas de acordo com seu tipo. O primeiro deles é a matriz quadrada, ou seja, aquela matriz que possui o mesmo número de linhas e colunas. Há também a matriz diagonal e escalar, que são definidas em termos dos elementos de sua diagonal principal e secundária.

O número real, que é aquele multiplicado pela matriz, também é um conceito que merece ser relembrado para que possamos partir com mais firmeza para o assunto que realmente interessa aqui.

Dizendo de uma maneira bastante simples, mas também bastante eficientes, os números reais e um conjunto matemático de números que não são abarcados pelo conjunto de números racionais. Dessa maneiram, fazem parte dos números reais:

• Os números inteiros positivos;
• Os números inteiros negativos;
• Os números fracionários positivos;
• Os números fracionários negativos;
• Os números irreais.

Importante ter em mente que os números reais representam pontos ao longo de uma linha continua, quer se trate dos números racionais quer se trate dos números irracionais.

Agora que já temos essas informações e conceitos em mentes, podemos partir com mais firmeza para o assunto de interesse aqui, ou seja, a multiplicação de números reais por matrizes.

Entendendo a operação

A multiplicação de um número real por uma matriz funciona de forma bastante simples. Suponhamos que temos uma matriz dada X, na qual seus elementos são, na primeira linha, a, b e c, na segunda linha d, e, f, e na terceira linha g, h, i. Essa matriz será multiplicada pelo número real 2.

Dessa maneira, cada elemento dessa matriz deve ser multiplicado pelo 2. Com isso, temos 2 x a, 2 x b, 2 x c, 2 x c, 2 x d, 2 x e, 2 x f, 2 x g, 2 x h e 2 x i. Com os resultados, se obterá uma nova matriz, que aqui chamaremos de X.1.

Como é possível concluir por este simples exemplo, trata-se de uma operação bastante simples, mas os exercícios nos quais a multiplicação de matrizes está envolvida costumam ser mais complexos, envolvendo operações de multiplicação com várias matrizes, inclusive entre si.

Para facilitar ainda mais o entendimento sobre a multiplicação de números reais por matrizes, vale destacarmos algumas propriedades gerais quando trabalhamos com matrizes nulas, nas quais n1 e n2 são números reais quaisquer e M, M1 e M2 matrizes quaisquer:

• n1 x M = M
• -n1 x M = -M
• 0 x M = 0
• M x 0 = 0
• n1 x (M1 M2) = n1 x M1 = n1 x M2
• (n1 n2) x M1 = n1 x M1 n2 x M2
• n1 x (n2 x M) = (n1 x n2) x M

Com essas regras, e tendo os conceitos de matriz e números reais claros, fica muito mais fácil resolver qualquer exercício que envolva a multiplicação de um número real por matriz.