Relações métricas no triângulo retângulo

O triângulo é o polígono que possui menor número de lados, porém é um dos formatos geométricos mais significativos no ensinamento da geometria e, por isso, sempre intrigou matemáticos desde o período da Antiguidade.

Em um triangulo retângulo, o lado vertical, aqueles que produzem um ângulo de 90º, são chamados de catetos e o lado contrário ao ângulo de 90º é denominado de hipotenusa.

O teorema de Pitágoras é usado no triangulo retângulo e afirma que: a hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.

h² = c² + c²

Em triângulos semelhantes, podem-se estabelecer determinadas relações métricas que são bastante importantes:

1) h² = m.n

2)b² = m.a

3)c² = a.n

4)b.c = a.h

Onde,

h = cateto oposto do triangulo 1 e 2

m = cateto adjacente do triangulo 1

n = cateto adjacente do triangulo 2

b = hipotenusa do triangulo 1

a = área total

c = hipotenusa do triangulo 2

Aplicação do teorema de Pitágoras

Um quadrado de lado l, com diagonal D que será a hipotenusa de um triangulo retângulo com catetos l. A partir disso, o teorema de Pitágoras pode ser usado para determinar uma expressão que medi a diagonal D com relação à medida dos lados.

d² = l² + l²

d² = 2l²

vd² = v2l²

d = lv2

– Altura do triângulo equilátero

Há um triangulo equilátero PQR, onde sua altura pode ser calculada com relação à medida l dos lados. Depois de determinar a altura heart do triangulo PQR, pode-se constatar um triângulo retângulo PQR de catetos h e l/2 e hipotenusa h. Usando o teorema de Pitágoras temos:

h² + (l/2)² = l²

h² + l²/4 = l²

h² = l² – l²/4

A partir daí, é feito o mínimo múltiplo comum (MMC):

4h² = 4l² – l²

4h² = 3l²

h² = 3l²/4

vh² = v3l²/4

h = l v3/2

– Diagonal do paralelepípedo

Em um paralelepípedo de arestas a, b e c, pode-se calcular a diagonal (d) utilizando a diagonal x da base nos cálculos do teorema de Pitágoras. Assim, temos:

x² = a² + b²

d² = x² + c²

Preenchendo os elementos, temos:

d² = a² + b² + c²

vd² = va² + b² + c²

d = va² + b² + c²

– Diagonal do cubo

Essa medição é um caso específico do paralelepípedo.

Temos um cubo onde a = b = c = l, por isso:

d = va + b² + c²

d = vl² + l² + l²

d = v3l²

d = lv3

Relações trigonométricas do triângulo retângulo

A trigonometria é um instrumento matemático muito usado na operação de distâncias que envolvem os triângulos retângulos. Antigamente, matemáticos usavam o conhecimento conquistado em trigonometria para fazer operações relacionadas à astronomia, definindo a distancia, quase que exata, entre a Terra e os demais planetas do sistema solar.

A trigonometria determina as relações entre os ângulos agudos de um triangulo retângulo e as dimensões de seus lados. Essas relações trigonométricas são:

1)Seno: razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

seno = cateto oposto/hipotenusa

2)Cosseno: razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

cosseno = cateto adjacente/hipotenusa

3)Tangente: razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

tangente = cateto oposto/cateto adjacente

Um triângulo retângulo é formado por um ângulo de 90° e outros dois ângulos denominados a e ß, e os seus lados são representados pelas letras a, b e c, onde c é a hipotenusa e a e b os catetos oposto e adjacente, respectivamente.

A partir disso, temos:

– Para o ângulo a:

sen a = a/c

cos a = b/c

tg a = a/b

– Para o ângulo ß:

sen ß = b/c

cos ß = a/c

tg ß = b/a

Ex: Temos um triângulo retângulo com ângulos a e ß, e hipotenusa = 5, cateto oposto = 4 e cateto adjacente = 3. Os valores dos senos, cossenos e tangente desses ângulos são:

– Para o ângulo a:

sen a = 4/5

cos a = 3/5

tg a = 4/3

– Para o ângulo ß:

sen ß = 3/5

cos ß = 4/5

tg ß = 3/4