Resumo sobre Progressão aritmética e geométrica

Apesar de muitas pessoas acharem que muitos conceitos em matemática não acrescentam nada em suas vidas, é preciso rever esta opinião, pois a matemática está em quase tudo no mundo. Nas distâncias, nas casas, em nossos computadores e smartphones, em nossos eletrodomésticos, nos carros e dentre muitas outras coisas. Assim, para que esses conceitos e coisas existissem, a matemática foi e ainda é fundamental, talvez mais que nunca, já que todas as tecnologias emergentes – que podem melhorar em muito nossas vidas, sejam em termos de saúde, de lazer ou de trabalho –, como os novos dispositivos digitais e diversas linguagens de programação computacional simplesmente não existem sem a matemática.

Apesar de ser amplamente utilizada conforme os exemplos acima, a matemática nem sempre é palpável, ou seja, nem sempre é possível ter a noção de que ela está presente em determinado contexto. No entanto, um dos contextos mais transparentes para verificar como esta ciência está presente em nosso cotidiano são as noções de sucessão e progressão.

Tomemos como exemplo a noção de tempo. Um final de semana tem 2 dias, uma semana tem 7 dias, um mês tem 4 semanas, um bimestre tem 2 meses, um trimestre tem 3 meses, um semestre tem 6 meses, um ano possui aproximadamente 52 semanas, uma década tem 10 anos, um século tem 100 anos e um milênio tem mil anos. O que podemos concluir com estas informações?

A primeira conclusão possível é que trata-se de uma sequência, ou seja, de uma progressão, pois a cada informação dada fica maior que a anterior. A segunda conclusão possível é que uma unidade de medida de tempo é menor que a posterior, horas > dias > fim de semana > semana > mês > bimestre > semestre > ano > década > milênio. Além disso, com um pouco de esforço, pode-se concluir que é possível classificar cada unidade deste sistema de medida de tempo em uma determinada ordem. Por um exemplo: os dias de uma semana são classificados em 1 (domingo), 2 (segunda), 3 (terça), 4 (quarta), 5 (quinta), 6 (sexta) 7 (sábado). O mesmo vale para os meses que formam os anos e os anos que fazem o milênio. Mas vamos um pouco mais longe. Feito este resumo de progressão, na sequência veremos duas maneiras em que essa progressão de termos se dá.

Progressão aritmética

Vamos fazer primeiro o resumo de progressão aritmética por ela ser considerada a mais simples. Como já dito, para que haja uma progressão é necessário que haja uma sequência de termos, que podem ser diferentes ou iguais entre si. Uma progressão aritmética com termos iguais é chamada de progressão constante. Os outros tipos são progressão aritmética crescente e decrescente. Assim, temos que P.A (a1, a2, a3, a4 ,a5, a6… an). Para facilitar o entendimento, vamos substituir os termos por números. Dessa maneira, temos que PA (3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38). Vendo estes números, você consegue estabelecer alguma correlação? Não? Não se preocupe, pois logo entenderá.

Uma progressão aritmética é definida como uma sequência de termos cujo valor é definido pela soma do termo anterior com uma constante chamada de razão da progressão. Mas o que é a razão? É justamente aquilo que queremos achar, ou seja, porque os termos têm o valor que têm.

Podemos fazer algumas tentativas. Vamos supor que o valor de um termo é determinado pela soma dos dois termos anteriores. Assim, 18 = 13 8, o que está errado, pois o resultado da soma é 21, e não 18. Podemos achar que o segundo termo é dado pela multiplicação do termo anterior. No entanto, 3×2 = 6 e não 8, 8×2 = 16, e não 13, e assim por diante.

Aqui vai uma dica preciosa: na progressão aritmética, a razão é dada por uma RELAÇÃO DE SOMA, manifesta pela seguinte fórmula: an = a1 (n – 1).r. Substituindo com os valores de nossa PA, temos r = 5, ou seja, o que determina o valor do termo subsequente a determinado termos é a soma deste termo mais a razão, que é 5. Portanto, 3 5 = 8, 8 5 = 13, etc.

Progressão geométrica

Para fazer um breve resumo da progressão geométrica, a mesma lógica da PA se aplica. No entanto, não trata-se mais de uma relação de soma, mas sim MULTIPLICAÇÃO.

Assim, em uma PG (a1, a2, a3, a4 ,a5, a6… an), a razão também é obtida a partir do primeiro termo, mas a relação é de multiplicação, o que nos dá que a3 = a3.n2 (q elevado ao cubo), a4 = a3.n3, a4 = a4.n4, etc. Portanto, a fórmula que dá a razão da progressão geométrica é:
an = a1 x Rn-1 (razão elevada a n – 1). Por exemplo, dada a PG (13, 26, 52, 104, 208), qual seu 13° termo. Temos que a1 = 13 e r = 2. Portanto:
a13 = 13.219 > a13 = 13.524.228 > a13 = 6.815.744.

Esperamos que com este breve resumo de potência você possa ter esclarecido suas dúvidas e estar pronto para qualquer desafio envolvendo PA ou PG.