Seno e Cosseno de dois ângulos suplementares


Antes de abortar diretamente o seno, cosseno e ângulos complementares, é preciso trazer os conceitos básicos da trigonometria. Esse ramo da matemática estuda as relações entre os comprimentos dos dois lados de um triângulo retângulo. A compreensão das relações envolve a descoberta dos diferentes valores de um dos ângulos agudos do triângulo retângulo.

Seno e Cosseno de dois ângulos suplementares

O estudo das relações entre os comprimentos não é de suma importância apenas para a matemática pura, mas também na matemática aplicada e nas ciências naturais. A abordagem trigonométrica adentra outros campos da geometria, como o estudo das esferas. Essa parte da matéria chama-se trigonometria esférica.

Basicamente o ponto inicial do estudo é a compreensão da existência de um triângulo retângulo com algumas características. Os lados desse triângulo formam um ângulo de 90 graus. Devido a essa característica, chamamos tais lados de catetos. Já o lado oposto ao ângulo de 90 graus recebe o nome de hipotenusa. A compreensão da trigonometria está associada invariavelmente a esse triângulo retângulo, com seus catetos e hipotenusa.

Se um triângulo possui os catetos B e C, que somam um ângulo a de 90 graus, dizemos que eles são ângulos agudos. A ideia de complementaridade envolve a relação igualitária entre os dois para que possa haver o ângulo de noventa graus. Vejamos mais profundamente como se dá essa complementaridade.

Seno, cosseno e ângulos complementares

Antes de tudo, vejamos a definição de ângulos complementares:

• Se a soma de dois ângulos agudos resultar em um ângulo reto, isto é, um ângulo de noventa graus, podemos dizer que se tratam de ângulos complementares.

Como podemos ver, é essencial que haja dois ângulos agudos. E ambos são menores que 90 graus. Dessa forma, só podemos chegar ao ângulo reto sobre a soma de dois elementos. Não existe possibilidade de utilizar três, ou quatro ângulos. São sempre dois que se complementarão.

Vejamos um exemplo. Se tivermos um ângulo de 40 graus e outro de noventa graus, o resultado será um ângulo reto. Em outras palavras, temos 90 graus de ângulo e a complementaridade entre eles. Assim:
40 graus + 50 graus = Ângulo complementar ou ângulo reto

Podemos partir da necessidade de um ângulo para ser complementado. Por exemplo, um ângulo de 70 graus. Qual é o complemento dele? Isto é, o que lhe falta para ser “preenchido”, para se transformar num ângulo de noventa graus? Evidentemente lhe faltam 20 graus. Então dizemos que o complemento do ângulo de 70 graus é o ângulo de 20 graus.

Agora abordemos o seno e o cosseno dos ângulos complementares.
Quando ângulos agudos são complementares, o cosseno de um deles é idêntico ao seno do outro. Peguemos o exemplo de dois ângulos complementares, alfa e beta. Não podemos saber quanto vale o alfa e o beta, só sabemos que são complementares porque a soma de ambos resulta em 90 graus.

Mesmo sem o valor real de cada ângulo, podemos afirmar que o seno de um deles é igual o cosseno do outro. E o contrário também é verdadeiro, pois o cosseno de um é o seno do outro. É possível chegar a essa concepção porque já sabemos que eles são ângulos complementares. Veja algumas conclusões:

• Devemos entender que em qualquer triângulo retângulo haverá um ângulo de 90 graus.
• Os outros ângulos do nosso exemplo, beta e alfa, são menores, e por isso são chamados agudos.
• Sempre que a soma desses ângulos agudos resultarem no ângulo de noventa graus, temos a complementaridade.
• Os dois ângulos agudos em qualquer triangulo retângulo são sempre complementares porque sua soma sempre será igual a noventa graus.

Se fizer o seno do ângulo alfa, o cosseno é o cateto oposto dividido pela hipotenusa. Se fizermos o cosseno do ângulo alfa, que é adjacente ao ângulo beta, o seno é igual o cateto adjacente dividido pela hipotenusa.

Em resumo, se dois ângulos são complementares, o seno de um é igual o cosseno do outro e vice-versa.

Ângulo adjacente e ângulo suplementar

Como vimos anteriormente, um ângulo que possui 90 graus é chamado de ângulo reto. Mas podemos ter também um ângulo raso, e nesse caso ele tem o dobro, 180 graus. Esses ângulos, assim como outros que aprecem com frequência nos cálculos, são chamados de ângulos notáveis.

Quando falamos em ângulos complementares, vimos que significa que se trata de dois ângulos de noventa graus. Mas existem ainda os ângulos adjacentes e suplementares. Veja:

• Há situações em que temos dois ângulos rasos, ou seja, dois ângulos cuja soma é 180 graus. Para esse caso damos o nome de ângulo suplementar.
• Há ainda os ângulos adjacentes, que apenas compartilham entre si uma semirreta e um vértice.
O estudo dos ângulos adjacentes e ângulos suplementares são essenciais para o entendimento das outras abordagens trigonométricas. Por isso é essencial ao estudante ter uma compreensão clara das relações entre os ângulos de uma forma geral.