Trigonometria: Conceito, Elementos, Funções e Transformações


Introdução à trigonometria

As origens da trigonometria são obscuras. Há alguns problemas no papiro RÍrinò* que envolvem a cotangente de um ângulo. É possível que investigações modernas sobre a matemática da Mesopotâmia An­tiga vendam a revelar um desenvolvimento apreciável da trigonometria prática. Os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.C. acumularam uma massa considerável de dados de observações e boje se sabe que grande parte desse material passou para os gregos. Foi essa astronomia primitiva que deu origem à trigonometria. A trigonometria, talvez mais do que outros ramos da matemática desenvolveu-se como resultado de uma interação contínua e fertil entre oferta e demanda: a oferta de teorias matemáticas aplicáveis e técnicas acessíveis em qualquer momento e a demanda de uma única ciência aplicada, a astronomia. A relação era tão íntima que só no século XIII tornou-se proveitoso considerar os dois assuntos como sepa­rados.

Trigonometria

Círculo  trigonométrico

Vamos considerar o plano cartesiano ao lado. Agora, vamos representar nesse plano um círculo com as seguintes condições:
a.    o centro é a origem do sistema cartesiano O (O, 0);
b.    o raio unitário é tomado como unidade;
c.    a orientação positiva é no sentido anti-horário e a negativa é no sentido horário;
d.    o ponto (1,0) é considerado a origem dos arcos.

Esse círculo é chamado de círculo trigonométrico ou circunferência trigonométrica.

Comprimento de uma circunferência

Em qualquer circunferência, a razão entre seu comprimento e seu diâmetro é constante. Essa cons­tante é o número n (n = 3,14…). Vamos chamar de C o comprimento da circunferên­cia ou do arco de uma volta completa. Temos, então:

Radiano

Dizemos que um arco mede um radiano (l rad ) quando seu comprimento é igual ao raio da circunfe­rência que o contém.

Conversão entre as unidades

Vamos verificar quanto mede, em radianos, um arco de uma volta completa. Sabemos que o comprimento de uma circunferência é C = 2nr. Veja, então, a regra de três. Conclusão: um arco de uma volta completa (360°) tem medida igual a 2jtrad. Para transformarmos graus em radianos ou radianos em graus, basta usarmos a regra de três.

Unidades para se medir arcos (ângulos)

Medidas em graus

Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, cada parte é um arco de um grau (1°). Isso significa que a circunferência possui 360°.
O arco de um grau (1°) corresponde a ^77 da circunferência. Um arco de uma volta completa mede 360°. A medida em graus de um arco é igual à medida em graus do ângulo central correspondente. Observe a figura.

Funções  trigonométricas

Função seno

No círculo trigonométrico ao lado, vamos representar um arco a. O ponto P j é a projeção ortogonal do ponto P sobre o eixo y. Por definição: seno de um arco a é a medida algébrica do segmento OP15 isto é: sen oc = OPr Agora, observe na figura o triângulo retângulo OP2 P,
lembrando que a = sen a = OP,.

Função cosseno

Novamente no círculo trigonométrico, vamos representar um arco a. O ponto P2é a projeção ortogonal do ponto P sobre o eixo x. Por definição, cos a é a medida algébrica do segmento OP2. Novamente, cateto adjacente e hipotenusa. Observe o triângulo retângulo POP , lembrando que cos a = w x 2.

Função tangente

Para obtermos a tangente de um ângulo, devemos acrescentar ao círculo trigonométrico um eixo t, que é paralelo a y, passando pela origem dos arcos.
O ponto T é encontrado por meio da intersecção do prolongamento do raio com o eixo t. Por definição, tg (a) é a medida algébrica do segmento AT, isto é: tg (a) = AT. Agora, observe que os triângulos OP2P e OAT são semelhantes (A.A.A.). Temos, então, a relação. Mas sabemos que: AO = l (raio), OP2 =
cos a, PP2 = sen a e AT = tg a.

Além das funções sen (x), cos (x) e tg (x), existem outras funções trigonométricas: cosec (x), sec (x) e cotg (x), que são respectivamente as funções inversas às funções anteriores.

Relação fundamental da trigonometria

Observe o círculo trigonométrico: Na figura, temos um triângulo retângulo, com os catetos medindo sen (x) e cos (x). A hipotenusa é igual ao raio (1).

(sen x)2 + (cos x)2 = l2 ou
sen2 (x) + cos2 (x) = l.

Chamamos essa relação de fundamental da trigono­metria.

Transformações trigonométricas

Dados os arcos de medidas a e b, expressar o seno, o cosseno e a tangente da soma e da diferença desses arcos.
sen  (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
sen (a – b) = sen a cos b – sen b cos a
cos  (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b
(Obedecidas as condições de existência.)

Essas são as fórmulas de adição e subtração de arcos.

Arco  duplo

Vejamos, a seguir, as fórmulas que expressam o seno, o cosseno e a tangente do arco duplo. Nas fórmulas de adição sen (a + b), cos (a + b) e tg (a + b), vamos substituir: a = b = x.